Topologische Gruppe

In der Mathematik ist eine topologische Gruppe eine Gruppe, die zusätzlich eine mit der Gruppenstruktur "verträgliche" Topologie hat. Die topologische Struktur erlaubt es zum Beispiel, Grenzwerte in dieser Gruppe zu betrachten, und von stetigen Homomorphismen zu reden.

Definition

Eine Gruppe G heißt topologische Gruppe, wenn sie mit einer Topologie so versehen ist, dass gilt:

1. Die Gruppenverknüpfung G × G -> G ist stetig. Dabei wird G × G mit der Produkttopologie versehen.
2. Die Inversenabbildung G -> G ist stetig.

Beispiele

Die reellen Zahlen R mit der Addition und der gewöhnlichen Topologie bilden eine topologische Gruppe. Allgemeiner ist der n-dimensionale euklidische Raum Rⁿ mit der Vektoraddition und der Standard-Topologie eine topologische Gruppe. Auch jeder Banachraum und Hilbertraum ist eine topologische Gruppe bezüglich der Addition.

Die obigen Beispiele sind alle abelsch. Ein wichtiges Beispiel für eine nichtabelsche topologische Gruppe ist die Gruppe GL(n,R) aller invertierbaren reellen n-mal-n-Matrizen. Die Topologie entsteht dabei, indem man diese Gruppe als Teilmenge des euklidischen Vektorraums R^n×n auffasst.

Rⁿ ist ebenso wie GL(n,R) eine Lie-Gruppe, das heisst eine topologische Gruppe, bei der die topologische Struktur die einer Mannigfaltigkeit ist.

Ein Beispiel einer topologischen Gruppe, die keine Lie-Gruppe ist, bildet die additive Gruppe der rationalen Zahlen Q (sie ist eine abzählbare Menge die nicht mit der diskreten Topologie versehen ist). Ein nichtabelsches Beispiel ist die Untergruppe der Drehgruppe des R³, die erzeugt wird von zwei Drehungen um irrationale Vielfache von π (der Kreiszahl Pi) um verschiedene Achsen.

In jeder unitären Banach-Algebra bildet die Menge der invertierbaren Elemente mit der Multiplikation eine topologische Gruppe.

Eigenschaften

Ist a ein Element einer topologischen Gruppe G, dann sind die Linksmultiplikation und die Rechtsmultiplikation mit a Homöomorphismen von G nach G.

Anm. des Übersetzers: Den Rest der Eigenschaften kann man im englischen Originaltext nachlesen, da ich mir diesen Teil nicht zutraue.