Stellenwertsystem
Ein Beispiel für ein Zahlensystem, das kein Stellenwertsystem ist, ist das der römischen Ziffern. Es handelt sich dabei um ein Additionssystem.
Im folgenden soll die Art der Darstellung von Zahlen im Stellenwertsystem erklärt werden. Dabei ist streng zu unterscheiden, ob es sich um Ziffern (also Symbole) oder um Zahlen handelt. Um Verwechslungen zu vermeiden, sind im folgenden Ziffern im Unterschied zu Zahlen immer fett gedruckt. Die Zuordnung von Ziffern zu ihrem Zahlenwert ist eine Abbildung, die wir hier mit f bezeichnen. Im Hexadezimalsystem ist z.B. f(7) = 7 und f(D) = 13.
Ziffern
Die b-adische Darstellung einer Zahl verwendet genau b Ziffern (wobei b hier für eine beliebige natürliche Zahl größer als 1 steht). Jeder dieser b Ziffern wird injektiv eine der Zahlen von 0 bis b-1 zugeordnet. Injektiv bedeutet hierbei, dass jeder Ziffer eindeutig eine Zahl aus 0 bis b-1 zugeordnet wird.
Beispiele:
- Im Dualsystem (dyadischen System nach Leibniz) mit b=2 verwendet man die Ziffern 0 und 1 und ordnet ihnen die Zahlen 0 und 1 zu.
- Im Dezimalsystem (dekadischen System nach Leibniz) ist b=10 und man verwendet gewöhnlich die 10 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 und ordnet diesen (in dieser Reihenfolge) die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zu.
Beispiel:
- Im Hexadezimalsystem mit b=16 werden zusätzlich die Ziffern A, B, C, D, E und F gebraucht und diesen (wieder in dieser Reihenfolge) die Zahlen 10, 11, 12, 13, 14 und 15 zugeordnet.
Darstellung natürlicher Zahlen
Natürliche Zahlen werden in der b-adischen Darstellung durch eine beliebige (endliche) Folge
von Ziffern dargestellt. Jedes ai steht hier also für eine Ziffer. Üblicherweise notiert man die Folge aber nicht wie eben gezeigt von links nach rechts und durch Komma getrennt, sondern von rechts nach links und ohne Komma, also:
Der Folge wird nun die Zahl
zugeordnet.
Man kann zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl x eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Wert x ist. Im allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen, man braucht dazu nur beliebig oft die Ziffer 0 mit f(0)=0 an die Folge anhängen (d.h. in der üblichen Schreibweise voranstellen). Verbietet man Folgen, die mit der Ziffer 0 enden (in der üblichen Schreibweise also solche mit führender 0), so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogar eineindeutig ist, d.h. zu jeder natürlichen Zahl x existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert x ist. Ausgenommen von diesem Verbot ist natürlich die Folge 0, also die Folge, die aus nur einer Ziffer besteht, deren Wert 0 ist. Man benötigt diese Folge, um auch die Zahl 0 darstellen zu können.
Als Beispiel betrachten wir die Ziffernfolge 4B3 im Hexadezimalsystem (b=16). a0 ist hier 3, a1 ist hier B und a2 ist 4. Ferner ist f(3)=3, f(B)=11 und f(4)=4. Also repräsentiert die Folge 4B3 die Zahl
Entsprechend repräsentiert die Folge 1010011 im Binärsystem (b = 2) die Zahl
.Im Dezimalsystem (b=10) steht 3072 für:
.Darstellung ganzer Zahlen
Ganze Zahlen stellt man wie natürliche Zahlen durch endliche Ziffernfolgen dar, mit dem Unterschied, dass man negativen Zahlen das Minuszeichen als Symbol voranstellt.
Darstellung rationaler Zahlen
Auch Rationale Zahlen lassen sich b-adisch darstellen. Wie im Dezimalsystem trennt man hierbei mit Komma ab und multipliziert die Werte der Ziffern hinter dem Komma mit b-i, wobei i die Position hinter dem Komma angibt.
Zum Beispiel wird die rationale Zahl 1+3/8 = 1,375 im 2-adischen (dyadischen) Stellenwertsystem durch die Ziffernfolge 1,011 dargestellt. In der Tat ist
.Es kann dabei vorkommen, dass zur Darstellung eine unendliche, aber periodische Folge von Nachkommastellen benötigt wird. Gewöhnlich wird diese Periode dann durch eine über die periodischen Ziffern gezogene Linie gekennzeichnet und so eine endliche Darstellung möglich.
Während die Zahl 1/5 = 0,2 im Dezimalsystem die endliche Ziffernfolge 0,2 hat, ist ihre Binärdarstellung periodisch:
,Dagegen bezeichnet die Ziffernfolge 0,1 im 3-adischen (triadischen) System die rationale Zahl 1·3-1=1/3, die im Dezimalsystem einer unendlichen periodischen Ziffernfolge entspricht.
Wichtig ist es an dieser Stelle, zu erkennen, dass die Zifferndarstellung mancher rationaler Zahlen nicht mehr eindeutig ist. So bezeichnen die Ziffernfolgen 1, 1,0 und 0,999... im Dezimalsystem dieselbe rationale (sogar natürliche) Zahl 1. Während man die ersten beiden Darstellungen sofort als gleichwertig erkennt, benötigt man eine geometrische Reihe, um
Darstellung reeller Zahlen
Die Darstellung reeller Zahlen erfolgt prinzipiell genauso wie die von rationalen Zahlen durch b-adische Entwicklung (die sollte noch an geeigneter Stelle erklärt werden).
Bei rationalen Zahlen liefert diese eine abbrechende oder eine periodische Ziffernfolge, mit der eine endliche b-adische Darstellung dieser Zahl möglich ist.
Die b-adische Entwicklung einer irrationalen Zahl (wie π oder 
) liefert dagegen stets eine unendliche nichtperiodische Ziffernfolge.
Irrationale Zahlen können nicht durch eine endliche Ziffernfolge dargestellt werden. Man kann sich zwar mit endlichen (oder periodischen) Dezimalbrüchen beliebig annähern, jedoch ist eine endliche b-adische Darstellung niemals exakt.
Die endliche Darstellung ist, wie hier für π und √2 geschehen, nur symbolisch durch zusätzliche Zeichen für einige sonst nicht darstellbare irrationale Zahlen möglich.
Wenn man aber unter der "Darstellung" einer reellen Zahl die bei der b-adischen Entwicklung entstehende Ziffernfolge versteht, dann ist jede reelle Zahl als (z.T. unendlicher) b-adischer Bruch darstellbar, auch wenn nicht jeder solche Bruch tatsächlich aufschreibbar ist.
Trotzdem kann man selbst mit beliebig endlich vielen zusätzlichen Zeichen nicht jede reelle Zahl angeben, denn man kann zeigen, dass mit keinem endlichen Zeichenvorrat die endliche Darstellung aller reellen Zahlen möglich ist. Dies liegt daran, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, die Menge aller endlichen Darstellungen mit endlichen Zeichenvorrat aber nur abzählbar ist.
Umrechnung zwischen verschiedenen Stellenwertsystemen
Allgemein lassen sich Zahlen in einem Stellenwertsystem der Ordnung n in Zahlen eines Stellenwertsystems der Ordnung m umrechnen, indem man aus der Ordnung n ins Dezimalsystem und anschliessend ins Zielsystem umrechnet.
Zur Umrechnung aus einem n-adischen System ins Dezimalsystem bildet man Definitionsgemäß die Summe des Produkts der einzelnen Ziffern mit ihrer Wertigkeit, im Falle der Umrechnung der Oktalzahl 235 ins Dezimalsystem also z.B.:
Um zu einem Algorithmus zur Umrechnung aus dem Dezimalsystem in ein m-adisches System zu kommen, lassen sich nun folgende Überlegungen anstellen:
Der o.g. Ausdruck lässt sich auch darstellen als
in dem man nun der Anschaulichkeit halber x = (2 * 8) + 3 substituiert. Man erhält
was offensichtlich die Umkehrung von
darstellt. Durch rekursive Anwendung dieser Umformung ergibt sich nun folgender Algorithmus:
Zur Umrechnung aus dem Dezimalsystem in ein m-adisches System führt man sukzessive "Divisionen mit Rest" durch m aus. Die jeweiligen Reste entsprechen den Ziffern der Zahl in der Reihenfolge aufsteigender Wertigkeit, im Falle der Umrechnung der Dezimalzahl 157 ins Oktalsystem also z.B.:
Die Dezimalzahl 157 entspricht also im Oktalsystem der Zahl 235.
Spezialfälle
Ist die Basis m eine (ganzzahlige) i-te Potenz der Basis n lässt sich der Umrechnungsvorgang deutlich vereinfachen. Hier lassen sich Gruppen aus jeweils i Ziffern in eine Ziffer umrechnen. Umgekehrt lassen sich zur Umrechnung aus der Basis m einzelne Ziffern zu Zifferngruppen der Größe i umrechnen. Da sich die Größe der Zifferngruppen in diesen Fällen üblicherweise in einem überschaubaren Bereich bewegt, lassen sich solche Umrechnungen leicht mithilfe von Tabellen durchführen:
| 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
Am Beispiel der Konversion vom Dualsystem ins Oktalsystem (i=3) ergäbe sich also folgende Umrechnung der Zahl 010011101:
010 011 101 `'´ `'´ `'´ 2 3 5
Verallgemeinerung
Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Es wurde nachgewiesen, dass sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden können. Ebenso sind Zahlensysteme mit gemischten Basen möglich. Beispiele hierfür findet man in Knuth, The Art of Computer Programming.
Für solche verallgemeinerten Stellenwertsysteme gelten einige der hier gemachten Aussagen über die endliche Darstellbarkeit rationaler und reeller Zahlen nicht. Verwendet man z.B. den Goldenen Schnitt τ = (1+√5)/2 als Basis, dann stellt eine endliche Ziffernfolge stets eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl der Form r+s√5 mit rationalen r, s dar (dagegen hat nicht jede solche Zahl eine endliche Darstellung). Siehe dazu den englischen Artikel .
Siehe auch
