Konvergenzkriterium

In der Analysis ist ein Konvergenzkriterium ein Kriterium, mit dem man die Konvergenz einer unendlichen Reihe beweisen kann. Insbesondere meint man damit Kriterien für die Konvergenz einer reellen Reihe. Mit einigen dieser Kriterien kann man auch die Divergenz einer Reihe beweisen. Dabei unterscheidet man drei Arten von Kriterien: Die direkten Kriterien, die aus Eigenschaften der Folge selbst auf Konvergenz schließen, Vergleichskriterien 1. Art, die den Absolutbetrag bzw. die Norm der Reihenglieder mit einer bekannten Reihe vergleichen und Vergleichskriterien 2. Art, die die Quotienten der Absolutbeträge aufeinanderfolgender Glieder mit den entsprechenden Quotienten einer bekannten Reihe vergleichen.

Bekannte Konvergenzkriterien sind:

Direkte Kriterien:
- Kriterium der monotonen Konvergenz (Eine Reihe mit positiven reellen Gliedern und beschränkten Partialsummen konvergiert, Grenzwert ist das Supremum der Partialsummen)
- Leibnizkriterium
- Cauchykriterium
Vergleichskriterien 1. Art
Vergleichskriterien 2. Art
- Quotientenkriterium
- Kriterium von Raabe, Gauß, Kummer

Die Kriterien ermöglichen unterschiedliche Aussagen: Einige erlauben nur den Schluss auf Konvergenz, mit anderen kann auch Divergenz bewiesen werden, einige zeigen absolute Konvergenz, andere nur Konvergenz (aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz, aber nicht umgekehrt). Zudem erlauben verschiedene Kriterien eine Abschätzung des Grenzwerts oder eine Fehlerabschätzung. Einen Überblick gibt die Tabelle:

Kriterium	Konvergenz	Divergenz	absolute Konvergenz	Abschätzung	Fehlerabschätzung
Kriterium der monotonen Konvergenz	x		x
Leibnizkriterium	x			x	x
Cauchykriterium	x	x
Majorantenkriterium	x		x
Minorantenkriterium		x
Integralkriterium	x	x		x
Wurzelkriterium	x	x	x		x
Cauchysches Verdichtungskriterium	x	x	x
Quotientenkriterium	x	x	x		x
Kriterium von Raabe	x	x	x

Literatur

Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Aufl., Springer 1996