Kontinuumsmechanik
| Inhaltsverzeichnis |
|
2 Beschreibung von Verzerrungen 3 Beschreibung von Spannungen 4 Verzerrungs-Spannungs-Beziehungen |
Übersicht
In der Kontinuumsmechanik wird vom mikroskopischen Aufbau der Materie, also zum Beispiel der Gitterstruktur kristalliner Festkörper und der molekularen Struktur von Flüssigkeiten, abgesehen und der Untersuchungsgegenstand als ein Kontinuum genähert.
Eine grundlegene Einteilung der Kontinuumsmechanik basiert auf der Unterscheidung zwischen elastischer (reversibler) und plastischer (irreversibler) Deformation oder Verformung. Bei Überschreitung des plastischen Fließvermögens kommt es zum Bruch des Festkörpers oder zum Zerreißen der Flüssigkeit. Bei der Deformation einer Flüssigkeit ist die Oberflächenspannung zu berücksichtigen.
Die Elastizitätstheorie (siehe Elastizität (Mechanik)) beruht auf dem verallgemeinerten Hookesche Gesetz, das einen linearen, tensoriellen Zusammenhang zwischen einer Verspannung und der daraus resultierenden Verzerrung des Kontinuums herstellt.
Plastische Verformungen (siehe Plastizität) werden in der Rheologie und der Strömungslehre näher untersucht.
Die mathematische Struktur der Elastizitätstheorie weist erhebliche Ähnlichkeit mit der Strömungslehre auf; zur Beschreibung viskoelastischer Materialien können beide Theorien miteinander vereinigt werden.
Beschreibung von Verzerrungen
Die mechanischen Eigenschaften eines Materials können als der mathematische Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen ausgedrückt werden. Im einfachsten Fall, beschrieben durch das Hookesche Gesetz, ist dieser Zusammenhang linear: die Verformung eines Materials ist linear zu einer angelegten äußeren Kraft.
Ausgangspunkt der Kontinuumsmechanik ist somit die mathematische Beschreibung von Verzerrungen und Spannungen.
Unter einer Verzerrung oder Deformation versteht man in der Physik die Veränderung der gegenseitigen Lagebeziehungen der Materieelemente. Diese Änderung der inneren Anordnung korrespondiert mit einer Änderung der äußeren Gestalt des Festkörpers.
Ein Spezialfall der elastischen Verformung ist die Dehnung eines Stabs in Längsrichtung. Naiv könnte man meinen, dass sich dieser Spezialfall eindimensional durch einen linearen Zusammenhang zwischen ausgeübter Kraft und resultierender Längenänderung beschreiben lässt. Tatsächlich aber führt die ausgeübte eindimensionale Belastung bereits zu einer mehrdimensionalen Verzerrung, da sich auch der Durchmesser des Stabs ändert (Querkontraktion). Deshalb ist selbst in den einfachsten Fällen eine dreidimensionale, tensorielle Beschreibung von Verzerrungen erforderlich.
Wir betrachten eine Verzerrung, die ein Materieelement aus einem Punkt r in einen Punkt r`=r+u transportiert hat. Dieser Sachverhalt lässt sich durch ein Vektorfeld u(r) ausdrücken. Ein konstantes Feld u(r)=c entspricht einer Translation des Festkörpers als ganzem; ein Feld u(r)=A r (mit einer orthogonalen Matrix A) entspricht einer Drehung. Solche Verschiebung bewirken keine innere Verzerrung. Eine Verzerrung tritt nur dann auf, wenn benachbarte Materieelemente in unterschiedlicher Weise verschoben werden; wenn sich also u(r) und u(r+dr) voneinander unterscheiden. Die Verformung des einzelnen Materieelements kann deshalb durch die partiellen Ableitungen der Komponenten von u nach den Komponenten von r beschrieben werden. Diese Ableitungen bilden den Verzerrungstensor
usw. folgen aus der Forderung, dass Drehungen des gesamten Körpers unberücksichtigt bleiben sollen. Deshalb hat der Verzerrungstensor nur sechs unabhängige Komponenten.Beschreibung von Spannungen
siehe einstweilen den Artikel Mechanische Spannung.
Verzerrungs-Spannungs-Beziehungen
Die lineare elastische Deformation
siehe Hookesches Gesetz.
Die nichtlineare elastische Deformation
Bei der nichtlinearen elastischen Deformation ist die Verschiebung benachbarter Punkte des Kontinuums nicht proportional zum Abstand dieser Punkte. Die nichtlineare elastische Deformation kann beispielsweise an Gummi beobachtet werden. In diesem Fall kann das hookesche Gesetz nicht angewandt werden. Diese Situation ist in der Natur die Regel. Wo möglich wird versucht, dieses Problem in einer linearen Näherung zu behandeln. Insbesondere für kleine Deformationen 
ist diese Näherung häufig gerechtfertigt.
Die plastische Deformation
In realen Medien ist jede Deformation nur bis zu einer gewissen Grenze elastisch. Wird diese Grenze überschritten, so tritt plastische Deformation (plastisches Fließen) auf. Bei der plastischen Deformaton kehrt der Körper mit dem Ausbleiben der für die Deformation verantwortlichen mechanischen Belastung nicht wieder in seine Ausgangsform zurück. In diesem Fall genügt die Angabe der Positionen von Punkten des Festkörpers nicht mehr zur Kennzeichnung des Zustands des Festkörpers, sondern es muss auch der Prozess berücksichigt werden, d. h. 
ist in diesem Fall keine Zustandsgröße.
Im allgemeinen Fall kann die Deformation durch angegeben werden. Die Gesamtdeformation setzt sich aus einem elastischen Anteil 
, einem plastischen Anteil 
und dem temperaturbedingetn Anteil zusammen:
Fließbedingung
Die Fließbedingung legt all diejenigen mehrachsigen Spannungszustände fest, an denen das Material plastisch fließt. Es ist üblich, die Fließbedingung als eine konvex gekrümmte Fläche im Spannungsraum anzugeben, die Fließortfläche heißt. Für Spannungszustände in dem von der Fließortfläche umschlossenen Raum deformiert das Material elastisch, die Spannungszustände auf der Fließortfläche ergeben plastisches Fließen, Spannungszustände außerhalb des umschlossenen Raums können nicht auftreten.
Einige der heute verwendeten Fließbedingungen, die für metallische Werkstoffe verwendet werden können, sind von Huber und von Mises sowie von Tresca formuliert worden. Beide Regeln gelten nur für isotrope Medien.
Die Fließbedingung nach R. v. Mises lautet:
,
den Spannungsdeviator und 
die Streckgrenze bezeichnet. Der Spannungsdeviator ist der um den hydrostatischen Anteil reduzierte Spannungstensor
.
,
und 
der größten bzw. kleinsten Hauptnormalspannung. Für eine graphische Interpretation der Trescaschen Regel können die Mohrschen Spannungskreise herangezogen werden.Beide Formulierungen werden häufig angewendet. Die Regel von v. Mises ist im allgemeinen Fall einfach anzuwenden. Wenn die Lage des Hauptachsensystems bekannt ist, wird oft mit der Trescaschen Regel gerechnet. Für numerisches Rechnen hat diese die Nachteile, dass jeweils eine Haupachsentransformation nötig ist und dass der Fließort nicht stetig differenzierbar ist.
Fließgesetz
Das Fließgesetz verknüpft die plastischen Verzerrungsinkremente mit den augenblicklichen Spannungen und den Spannungsinkrementen infolge des Fließens. Das heute allgemein anerkannte Fließgesetz ist nach von Mises benannt und besagt, dass der Spannungsinkrementvektor normal auf der Fließortfläche steht.
Verfestigungsgesetz
Das Verfestigungsgesetz legt fest, auf welche Weise die Fließbedingung während des Fließens modifiziert wird. Idealisiert kann von zwei unterschiedlichen Verfestigungsverhalten ausgegangen werden, dem isotropen und kinematischen Verfestigen.
Durch isotropes Verfestigen kann das Materialverhalten beschrieben werden, wenn es von der vorhergehenden Belastungsrichtung unabhängig ist, bzw. wenn sich die Belastungsrichtung nicht ändert. Das isotrope Verfestigen wird durch Expansion der Fließortfläche ausgedrückt. Das heißt, die Streckgrenze 
steigt abhängig von der aufgebrachten Verformung um einen gewissen Betrag an.
Durch kinematisches Verfestigen kann zum Beispiel der Bauschingereffekt beschrieben werden, d.h. die Streckgrenze ist bei Belastung in Gegenrichtung deutlich niedriger als während der vorherigen Belastung. Dieses Phänomen kann durch Verschieben der Fließortfläche beschrieben werden. Die Streckgrenze bleibt dabei konstant, es verändert sich nur der "Mittelpunkt des Fließorts" (back stress) 
. In der Fließregel muss dann die Fließspannung durch die „reduzierte Spannung” 
ersetzt werden.
Siehe auch: Plastizität.
Deformation realer Materialien
Reale Materialien wie Werkstoffe, oder allgemein Festkörper, Flüssigkeiten und Gase sind, mikroskopisch betrachtet, weder homogen noch isotrop. Sie sind aus Bausteinen (Atome, Moleküle, Ionen, quasifreie Elektronen) aufgebaut, die keine gleichmäßige Raumfüllung aufweisen.
Homogenität
Auf atomarer Ebene sind die physikalischen Eigenschaften der Materie nicht homogen sondern ortsabhängig, und zwar unabhängig, ob es sich dabei um ein Gas, eine Flüssigkeit, oder einen Festkörper handelt. Beispielsweise Massedichte, oder auch Ladungsdichte variieren zwischen den Materiebausteien (Moleküle eines Gases, Ionenrenrümpfe eines Kristallgitters, Elektronen des Leitungsbands, etc), und schon diese Bausteine selbst können im Allgemeinen nicht als homogen betrachtet werden.
In der Praxis können diese Schwankungen auf atomarer Ebene jedoch häufig vernachlässigt werden, und Materie kann als homogen angesehen werden, wenn sie in ihren Eigenschaften auf makroskopischen Längenskalen gleichförmig ist.
Isotropie
Auf atomarer Ebene gilt zunächst Vergleichbares zur Homogenität: Wenn ich von einem Materiebaustein aus in verschiedenen Richtungen die Umgebung betrachte, so sieht diese ungleichmäßig aus: mal schaue ich genau auf einen nächsten Nachbarn, mal schaue ich zwischen diesen hindurch. Sind diese Bausteine jedoch unregelmäßig angeordnet (Gas, Flüssigkeit, oder amorpher Festkörper), so mitteln sich diese Unterschiede heraus, und makroskopisch kann solche Materie als isotrop angesehen werden.
Eine Besonderheit stellen Kristalle dar. Dort sind die Bausteine in einem Gitter angeordnet. Dies führt dazu, dass sich die physikalischen Eigenschaften auch makroskopisch in unterschiedlichen Richtungen unterscheiden können. Zusätzlich zu den Forderungen der Kontinuumsmechanik kommen dann noch Bedingungen hinzu, die sich aus der Symmetrie des jeweiligen Gitters ergeben (zum Beispiel hat ein Kristall, der eine hexagonale Kristallstruktur aufweist in Richtung der c-Achse (das ist die sechszählige Achse des Hexagons) eine unterschiedliche Festigkeit als senkrecht dazu.) Da sich aber metallische Werkstoffe aus einer Vielzahl von Kristallen zusammensetzen (die werden dann Kristallite genannt), ist die makroskopisch messbare Anisotropie von der Vorzugsrichtung der Kristallite abhängig.
Fließen
Die Deformation findet nicht homogen im gesamten Material, sondern nur an energetisch bevorzugten Kristallbaufehlern wie Versetzungen, Phasengrenzen und amorphen Einlagerungen statt, siehe Plastizität.
