Kongruenzrelation

In der Mathematik versteht man unter einer Kongruenzrelation eine Äquivalenzrelation auf einer algebraischen Struktur, die mit den Operationen dieser algebraischen Struktur verträglich ist. Formal ausgedrückt heisst dies

Definition

Sei AA eine Menge, eine Äquivalenzrelation auf AA und sei eine nn-stellige Operation (Funktion) auf AA. Man nennt und ff verträglich, falls für alle mit immer

gilt.

Sei nun eine algebraische Struktur mit Grundmenge AA und Operationenmenge FF. wird Kongruenzrelation auf genannt, falls mit allen verträglich ist.

Anwendung

Aus einer algebraischen Struktur und einer Kongruenzrelation auf dieser algebraischen Struktur kann eine neue algebraische Struktur gewonnen werden, die sogenannte Faktoralgebra, dabei ist die Grundmenge von gerade die Faktormenge und die für jede nn-stellige Operation von wird eine neue Operation auf definiert durch

Beispiele

1. Für alle algebraischen Strukturen sind (genannt Diagonale oder Identität) und (genannt Allrelation) immer Kongruenzrelationen
2. Ist ein Homomorphismus zwischen den beiden algebraischen Strukturen und . Definiere . Dann ist eine Kongruenzrelation auf AA
3. Sei eine Gruppe, NN ein Normalteiler dieser Gruppe. sei diejenige Äquivalenzrelation auf GG mit den Äquivalenzklassen , dann ist eine Kongruenzrelation auf . Mann kann sogar zeigen, dass eine bijektive Abbildung zwischen den Normalteilern und den Kongruenzrelationen einer Gruppe gegeben ist. Bei einer Gruppe entsprechen also Kongruenzrelationen den Normalteilern
4. Die analoge Aussage wie oben gilt auch für Ideale von Ringen und für Unterräume von Vektorräumen. (Sprich: Die von Idealen bzw. Unterräumen bestimmten Äquivalenzklassen entsprechen den von Kongruenzrelationen bestimmten Klassen).

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