Komplexe Zahl
. Diese Zahl i wird auch als imaginäre Einheit bezeichnet. Der Ursprung der Theorie der imaginären Zahlen, das heißt aller Zahlen, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist, geht auf den italienischen Mathematiker Raffaele Bombelli und somit ins 16. Jahrhundert zurück. Die Einführung der imaginären Einheit i als neue Zahl wird Leonhard Euler zugeschrieben. Komplexe Zahlen werden meist in der Form
- a + bi
stets durch - 1 Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Physik und Ingenieurswissenschaften als äußerst nützlich erwiesen hat. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraischen Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion, der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann.
Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol 
verwendet.
Definition
Die folgende Definition nimmt zunächst keinen Bezug auf die imaginäre Einheit i, sondern erfolgt in der Paarschreibweise:
- Eine komplexe Zahl ist ein Paar
zweier reeller Zahlen a a und bb . - Für die Addition gilt
(d.h. es wird komponentenweise addiert).
- Für die Multiplikation gilt
.
der Paare reeller Zahlen mit den so definierten Verknüpfungen bildet einen Körper 
.Komplexe Zahlen sind im Gegensatz zu reellen Zahlen nicht mehr geordnet, d.h. man kann keine Relation < (kleiner) oder > (größer) zwischen ihnen aufstellen.
Die erste Komponente des Paares , also a , den zweiten, also b
Die Zahl 
hat die Eigenschaft, dass
eine Lösung der obigen quadratischen Gleichung 
. Eine zweite Lösung ist 
.Übergang von der Paarschreibweise zur gebräuchlichen a+bi-Schreibweise
Komplexe Zahlen mit Imaginärteil 0
oder 
.
Die komplexe Zahl nennt man die imaginäre Einheit, kurz i (oder auch j in der Elektrotechnik).
Mit diesen Gleichsetzungen kann jede komplexe Zahl in Realteil und Imaginärteil zerlegt werden:
-
.
besitzt, und die daher auch als "Wurzel aus -1" aufgefasst wird.Komplexe Ebene
, e und π
Während sich die Menge der reellen Zahlen 
an einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt, kann man die Menge der komplexen Zahlen als Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) interpretieren. Die Menge der reellen Zahlen bildet darin die waagerechte Achse, die Menge der rein imaginären Zahlen (d.h. mit Realteil 0) bildet die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl 
wird als Punkt mit den Koordinaten a
Da die Addition komplexer Zahlen komponentenweise erfolgt, kann sie geometrisch als Pfeiladdition nach Art einer Vektoraddition interpretiert werden. Tatsächlich sind komplexe Zahlen Vektoren eines 2-dimensionalen reellen Vektorraumes, da sie alle dafür nötigen Axiome erfüllen. In der Physik rechnet man deswegen manchmal in komplexen Zahlen statt in der alten Darstellung der Vektoren. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine Drehstreckung.
Die konjugiert komplexe Zahl
Ersetzt man den Imaginärteil b 
durch sein negatives - b 
(manchmal auch 
geschrieben), nämlich a - bi den negativen Winkel von z
Schreibweisen und Umrechnungen
Algebraische oder kartesische Form
(
)
Die komplexe Zahl z dargestellt. Dabei sind a 
), b 
). Die Bezeichnung kartesisch ergibt sich aus der Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene.
Trigonometrische Form, auch Polardarstellung
, auch kurz r 
.
| Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen und in Polarkoordinaten |
und den Winkel zwischen der waagerechten Achse und der Verbindung zum Ursprung beschrieben werden (Polarkoordinaten). Es gilt dann
wird ein Argument (oder auch Winkel oder Phase) von z und 
demselben Winkel entsprechen, schränkt man meist auf das Intervall 
ein und spricht dann von dem Argument von 
Umrechnung von der algebraischen Darstellung
muss man beachten, dass dies über den arctan nur für a ≠ 0 gilt, und der Tangens denselben Wert zweimal im Intervall [0°, 360°] annimmt. Man muss also noch durch die Betrachtung der Vorzeichen von a und b den richtigen Winkel bestimmen. Die Verwendung der arcsin bzw. arccos Version eliminiert zwar das Problem mit a ≠ 0, löst aber nicht das Problem der doppelten Winkel. Die Schnittmenge der Lösungen über arccos und arcsin enthält nur noch die eindeutige Lösung (alternativ lässt sich diese natürlich auch hier - für den Menschen einfacher - über ein Vorzeichentest ermitteln). Die neueren Programmiersprachen stellen aber meist eine ArcTan-Funktion zur Verfügung, die den Wert je nach Vorzeichen von a oder b dem passenden Quadranten zuordnet.Umrechnung in die algebraische Darstellung
Exponentialform
(
)Es gilt
eine komplexe Zahl vom Betrag 1 . Auf diese Weise lassen sich auch Exponentialausdrücke von anderen komplexen Zahlen definieren. Die Rechenregeln sind dabei die gleichen wie für relle Zahlen.
Schreibweisen in der Elektrotechnik und Physik
In der Elektrotechnik wird das kleine i schon für zeitlich veränderliche Ströme verwendet (siehe Wechselstrom) und kann zu Verwechselungen mit der imaginären Einheit i führen. Daher wird in diesem Bereich der Buchstabe j verwendet [z.B. Taschenbuch der Hochfrequenztechnik Bd.1..3; Meinke, Grundlach, 1992 ].In der Physik wird zwischen i für Wechselstrom und i für die imaginäre Einheit unterschieden. Dies führt durch die recht klare Trennung beim aufmerksamen Leser nicht zu Verwechselungen und wird in dieser Form weitgehend sowohl in der physikalisch-experimentellen als auch in der physikalisch-theoretischen Literatur angewendet.
Komplexe Zahlen werden häufig auch unterstrichen dargestellt, um sie von reellen Zahlen zu unterscheiden.
Siehe auch: komplexe Wechselstromrechnung
Rechenregeln
Die Definitionen von Addition und Multiplikation lassen sich als übliche Klammerrechnung interpretieren:
Die Addition (in der kartesischen Darstellung)
Man addiert die beiden Realteile und die beiden Imaginärteile separat:
Die Subtraktion (in der kartesischen Darstellung)
Man subtrahiert die beiden Realteile und die beiden Imaginärteile separat:
Die Multiplikation
... in der kartesischen Darstellung
Der Realteil des Produkts besteht aus dem Produkt der Realteile minus dem Produkt der Imaginärteile, der Imaginärteil des Produkts ist die Summe der beiden gemischten Produkte "Realteil mal Imaginärteil":
... in der trigonometrischen Darstellung
Die Beträge werden multipliziert, die Phasen werden addiert.
... in der Exponentialform
Auch hier werden die Beträge multipliziert und die Phasen addiert.
Die Division
... in der kartesischen Darstellung
Der Quotient zweier komplexer Zahlen lässt sich berechnen, indem man mit dem komplex konjugierten des Nenners erweitert. Der Nenner wird dadurch reell.
... in der trigonometrischen Darstellung
In der trigonometrischen Darstellung wird der Betrag des Divisors durch den Betrag des Dividenden geteilt, und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert.
Zusammenfassung
Am einfachsten lassen sich die Berechnungen folgendermaßen durchführen.
- Bei der Addition und der Subtraktion komplexer Zahlen wird die Operation komponentenweise durchgeführt.
- Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.
- Bei der Division komplexer Zahlen werden ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert.
- Beim Potenzieren komplexer Zahlen werden ihre Beträge potenziert und ihre Argumente (Winkel) mit dem Exponenten multipliziert.
- Beim Radizieren (Wurzel ziehen) komplexer Zahlen werden ihre Beträge radiziert und ihre Argumente (Winkel) durch den Exponenten dividiert. Hierdurch entsteht die erste Lösung. Bei einer n-ten Wurzel entstehen n Lösungen, die im Winkel von 2
/n um den Ursprung der Gauss'schen Ebene verteilt sind. Siehe Wurzel (Mathematik)
Rechenbeispiele
Addition:
Die komplexen Zahlen in der Physik
Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. So passt insbesondere die mathematische Struktur der Quantentheorie exakt zur Struktur der komplexen Zahlenmathematik, die dort nicht wegzudenken ist. Sie findet dort Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödinger-Gleichung und der Klein-Gordon-Gleichung. Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, die Quaternionen. Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen möglich, die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen.
In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zu einer vierdimensionalen Raum-Zeit verknüpft. Substituiert man dazu die Zeit t mittels x4 = ict durch eine 4. Raumkoordinate x4, so ergibt sich eine Form der Naturgesetze, in denen diese vier Koordinaten strukturell völlig gleichberechtigt auftreten. So erhält man insbesondere für die Metrik M dieser Raum-Zeit
- M = x12 + x22 + x32 + x42,
Darüber hinaus ist die Mathematik der komplexen Zahlen derjenigen der reellen Zahlen hinsichtlich Eleganz und Abgeschlossenheit deutlich überlegen. So ist, um nur ein Beispiel zu nennen, jede komplex differenzierbare Funktion automatisch unendlich oft differenzierbar, anders als in der Mathematik der reellen Zahlen.
Es hat sich gezeigt, dass komplexe Zahlen tiefer in der Natur und auch in der Mathematik verankert sind, als man zur Zeit ihrer Entdeckung ahnen konnte. Die grundlegende Frage scheint fast weniger zu sein, warum die Quantentheorie so gut zu den komplexen Zahlen passt, sondern warum wir bei der physikalischen Beschreibung unserer Alltagswelt eigentlich so gut mit den reellen Zahlen auskommen.
Komplexe Zahlen in der angewandten Mathematik
Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung willkürliche aber passende Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechergebnisse dann wieder ignoriert. Es handelt sich dabei lediglich um einen Rechentrick ohne philosophischen Hintergrund.
In der Fluiddynamik werden komplexe Zahlen eingesetzt, um ebene Potentialströmungen zu erklären und zu verstehen. Jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments stellt immer eine ebene Potenzialströmung dar - der geometrische Ort entspricht dem komplexen Argument in der Gauß'schen Zahlenebene, das Strömungspotenzial dem Realteil der Funktion, und die Stromlinien den Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeit entspricht der konjugiert komplexen ersten Ableitung der Funktion. Durchs Experimentieren mit verschiedenen Überlagerungen von Parallelströmung, Quellen, Senken, Dipolen und Wirbeln kann man die Umströmung unterschiedlicher Konturen darstellen. Verzerren lassen sich diese Strömungsbilder durch konforme Abbildung - das komplexe Argument wird durch eine Funktion des komplexen Arguments ersetzt. Beispielsweise lässt sich die Umströmung eines Kreiszylinders (Parallelströmung + Dipol + Wirbel) in die Umströmung eines tragflügel-ähnlichen Profils (Jukowski-Profil) verzerren und die Rolle des tragenden Wirbels an einer Flugzeug-Tragfläche studieren. So nützlich diese Methode zum Lernen und Verstehen ist, zur genauen Berechnung reicht sie im allgemeinen nicht aus.
Wichtig ist auch die Anwendung komplexer Zahlen bei der Berechnung uneigentlicher reeller Integralee im Rahmen des Residuensatzes der Funktionentheorie.
Geschichtliches
Die Unmöglichkeit der oben angegebenen Lösung ist bei der Behandlung der quadratischen Gleichung schon sehr früh bemerkt und hervorgehoben worden, z.B. schon in der um 820 n.Chr. verfassten Algebra des Muhammed ibn Mûsâ Alchwârizmî. Aber bei dem nächstliegenden und unanfechtbaren Schluß, dass diese Art von Gleichung nicht lösbar sind, blieb man nicht stehen.
In gewissem Sinne ist bereits der Italiener Gerolamo Cardano (1501-1576) in seinem 1545 erschienenen Buch Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus darüber hinausgegangen. Er behandelt dort die Aufgabe die Zahl 10 in zwei Teile zu zerlegen, so dass deren Produkt 40 ergibt. Er hebt hervor, dass die dafür anzusetzende Gleichung:
-
oder 
-
oder 
-
oder 
Für die Quadratwurzel aus negativen Zahlen und allgemeiner für alle aus einer beliebigen reellen Zahl und 
einer beliebigen reellen Zahl 
zusammengesetzten Zahl
-
oder 
Im Gegensatz dazu wurden als gewöhnliche Zahl die reellen Zahlen bezeichnet. Eine solche Gegenüberstellung der zwei Begriffe findet sich in der 1637 erschienenen Geómetrie von Descartes und taucht dort wohl zum ersten Mal auf.
Heute bezeichnet man nur noch den Ausdruck der durch die Wurzel aus einer negativen Zahl gebildet wird als imaginäre Zahl und die von beiden Arten von Zahlen gebildete Menge von Zahlen als komplexe Zahlen. Man kann daher sagen, dass Cardano zum erstem mal im heutigen Sinne mit komplexen Zahlen gerechnet hat und damit eine Reihe von Betrachtungen angestellt hat.
Da das Rechnen mit diesen als "sinnlos" angesehenen Zahlen zunächst als bloßes Spiel erschien, war man um so überraschter, dass dieses "Spiel" sehr häufig wertvolle Ergebnisse lieferte oder schon bekannten Ergebnissen eine befriedigendere Form zu geben erlaubte. So kam Leonhard Euler zum Beispiel in seiner Introductio in analysin infinitorum zu einigen bemerkenswerten Gleichungen, die nur reelle Zahlen enthielten und sich ausnahmslos als richtig erwiesen, die aber auf anderem Wege nicht so einfach gewonnen werden konnten.
So kam es, dass man diese Zahlen nicht als widersinnig verwarf, sondern sich immer mehr mit ihnen beschäftigte. Trotzdem umgab dieses Gebiet der Mathematik noch immer etwas Geheimnissvolles, Rätselhaftes und Unbefriedigendes. Erst durch die Abhandlung Essai sur la répresentation analytique de la direction aus dem Jahre 1797 des norwegisch-dänischen Landmessers Caspar Wessels (1785-1818) wurde die Aufklärung über diese Zahlen angebahnt. Diese Arbeit die er bei der dänischen Akademie einreichte, fand anfangs keine Beachtung. Ähnlich erging es Arbeiten anderer Mathematiker, so dass diese Betrachtungen noch mehrfach angestellt werden mussten.
Allgemeine Beachtungen fanden sie erst dann, als auch Carl Friedrich Gauß im Jahre 1831 in einem Artikel in den Göttingschen gelehrten Anzeigen dieselben Auffassungen entwickelte, offensichtlich ohne Wissen von irgendwelchen Vorgängern.
Heute machen diese Dinge keinerlei begriffliche oder tatsächliche Schwierigkeiten. Durch die Einfachheit der Definition, der bereits erläuterten Bedeutung und Anwendungen in vielen Wissenschaftsgebieten stehen die komplexen Zahlen den reellen Zahlen in nichts nach. Der Begriff der "imaginären" Zahlen, im Sinne von eingebildeten bzw. unwirklichen Zahlen, hat sich also im Laufe der Jahrhunderte als schiefe Auffassung erwiesen.
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Weblinks
- Wikibooks: Komplexe Zahlen
- Eine Facharbeit, die eine Einführung in die komplexen Zahlen gibt
- Rechnen mit komplexen Zahlen
- Java-Applet zur geometrischen Deutung
