Cauchy-Folge

In der Mathematik ist eine Cauchy-Folge eine spezielle, vor allem in der Analysis verwendete Art von Folgen. Sie sind nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy benannt.

Cauchy-Folgen in einer Menge XX kann man nur definieren, wenn auf XX eine Metrik dd vorhanden ist. Das Paar wird dann als metrischer Raum bezeichnet. Die Menge der reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand (siehe absoluter Betrag) ist zum Beispiel ein metrischer Raum.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Beispiele
3 Eigenschaften

Definition

Sei ein metrischer Raum. Eine Folge in XX heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:

Das bedeutet: Zu jedem reellen

gibt es eine natürliche Zahl NN (Index), so dass für alle natürlichen Zahlen

gilt:

. Geometrisch verständlicher ist die Formulierung:

Für jeden Radius

, und sei er noch so klein, gibt es ein Folgenglied x_N, (welches einen sehr großen Index N aufweisen kann,) so dass alle nachfolgenden Folgenglieder x_n, n>N, in der Kugel B(x_N,ε) um den Punkt x_N mit Radius ε liegen.

Beispiele

Wenn nichts anderes gesagt wird, beziehen sich die Beispiele auf die reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand.

Die Folge ist eine Cauchy-Folge:
Sei beliebig vorgegeben. Wähle NN so, dass erfüllt ist. Seien beliebig, dann gilt:
Die Folge ist keine Cauchy-Folge:
Sei gewählt, und NN eine beliebige natürliche Zahl. Dann wähle m = N + 1m=N+1 und n = m + 1n=m+1. Es ist dann
,
die Bedingung einer Cauchy-Folge ist also nicht erfüllt.

Eigenschaften

Ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, wird vollständiger Raum genannt. Das heißt, in einem solchen Raum besitzt jede Cauchy-Folge einen Grenzwert, der Element des Raumes ist. Konvergente Folgen sind stets Cauchy-Folgen, die Umkehrung gilt aber nicht immer.

Zum Beispiel sind die reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand vollständig, aber die rationalen Zahlen nicht.